Die sechs soeben beschriebenen Kategorien stellen idealisierte Strategien dar und spiegeln keine individuellen Variationen zur Lösung eines Problems wider (Threlfall 2002). Daher sind diese Kategorien hilfreich bei der Analyse der Lösungen der Kursteilnehmer im Allgemeinen, aber sie reichen nicht aus, um einen tiefen Einblick in einzelne Prozesse der Berechnungslösung zu geben. Die Entwicklung der Flexibilität in der mentalen Berechnung kann durch spezielle Ansätze der Mathematikausbildung unterstützt werden. In diesem Zusammenhang haben die Forscher den Problemlösungsansatz im Allgemeinen hervorgehoben (Heinze et al. 2009; Grüßing et al. 2013) kombiniert mit spezifischen Aktivitäten zur Förderung des Zahlensinns. Rechtsteiner-Merz und Rathgeb-Schnierer (2015) haben einen speziellen pädagogischen Ansatz entwickelt und untersucht, der die Schüler dazu anregt, sich auf Zahlenmuster, Problemmerkmale sowie numerische und strukturelle Beziehungen zu konzentrieren (der Ansatz heißt “Zahlenblickschulung”, was wörtlich “Ausbildung der Zahlensicht” bedeutet). Die Forschung über die Lehre von geschriebenen Algorithmen sowie über den Verlust der Bedeutung nach ihrer korrekten Umsetzung führte viele Forscher begann zu fragen, wann die Standardalgorithmen gelehrt werden sollten (Baroody 1990) oder tatsächlich, ob sie überhaupt zu lehren (Carroll 1996). Ein Fokus auf die eigenen Methoden oder alternativen Unterrichtsmethoden der Kinder, wie die Verwendung der leeren Zahlenlinie und der mentalen Arithmetik, wurde Teil der Forschung sowie anerkannte Elemente im Lehrplan in der Grundschule in verschiedenen Ländern (Ashcroft und Fierman 1982; Anghileri 2001; Beishuizen 1993; Beishuizen et al.

1997; Beishuizen und Klein 1998; Bramald 2000; Bobis 2007; Fuson und Burghardt 2013; Ginsburg 1977; Gravemeijer 1993; Groen und Resnick 1977; Klein et al. 1998; Murphy 2011; Torbeyns et al. 2009b; Thompson 2000; Torbeyns et al. 2009c; Van den Heuvel-Panhuizen 2008). So erscheinen neue Themen in der Forschung über arithmetische in der Mathematik-Erziehung nach der Forschung über das Lehren von schriftlichen Algorithmen: mentale Arithmetik [was nicht neu im Lehrplan ist; nach Shulmann (1986) erschien es in der California State Board Prüfung für Grundschullehrer ab März 1875] und Flexibilität. 4. Forscher des Freudenthal-Instituts und der damit verbundenen Gruppen gingen nicht davon aus, dass die Arithmetik vor quantitativer Argumentation steht. Sie gehen davon aus, dass Zahlen verwendet werden sollten, um Mengen, Mengenänderungen und Relationen zwischen Denmengen darzustellen; Zahlen sollten von Anfang an nützlich sein.

Aus dieser quantitativen Argumentation entwickeln die Schüler ein Verständnis der Arithmetik, das später durch das Erlernen schriftlicher Algorithmen formalisiert werden kann, wenn dies wünschenswert ist. Die Forschung über informelle Mathematik, die außerhalb der Schule gelernt und verwendet wird, lieferte Ergebnisse, die im Einklang mit der Idee stehen, dass quantitatives Denken in Ermangelung von Kenntnissen traditioneller Berechnungsalgorithmen mächtig sein kann. Diese Forschung begann in den 1980er Jahren und ist immer noch einflussreich in der Mathematik-Ausbildung. Die Herausforderung für diese Forscher ist, dass ihre Sicht der Mathematik für den Unterricht nicht mit dem didaktischen Umsetzungsprozess in vielen Ländern übereinstimmt, wo die Lehrarithmetik als vorrangiges Ziel der Mathematikausbildung angesehen wird.